Como estudar monotonia de f(x) = ax² + bx + c?

Com a ≠ 0: f'(x) = 2ax + b e o ponto crítico é x = −b/(2a). Com a = 0, f é afim e f'(x) = b (constante).

Análise

Monotonia de função

Parábola (a ≠ 0) ou função afim (a = 0) — intervalos de crescimento.

Monotonia

Informe a e b (c vazio = 0). Com a = 0, f é afim; com a ≠ 0, parábola.

Preencha a e b

Para a ≠ 0, f(x) = ax² + bx + c é uma parábola. Com f'(x) = 2ax + b, o ponto crítico é x₀ = −b/(2a).

Para a = 0, f é afim: f'(x) = b é constante — crescente, decrescente ou constante conforme o sinal de b.

Se a > 0, a parábola abre para cima: f é decrescente antes de x₀ e crescente depois. Se a < 0, o comportamento se inverte.

a > 0 R i g h t a r r o w f decrescente em (- \infty, x_{0}), q u a df crescente em (x_{0}, \infty)

Exemplo

Com a = 1, b = −4 e c = 3, temos x₀ = 2.

f decrescente em (- \infty, 2), q u a df crescente em (2, \infty)