Por que só região retangular?

É o caso central do Fubini em Cálculo I. Outras regiões (triângulos, círculos) podem ser adicionadas depois.

Qual ordem de integração é usada?

Primeiro x de x₁ a x₂ (y fixo), depois y de y₁ a y₂ — equivalente ao retângulo quando f é contínua.

Calculadora de integral dupla em região retangular

∬_R f(x, y) dA

Região retangular R = [x₁, x₂] × [y₁, y₂]. Integrando polinomial com termos até grau 2 em x e y (constante, x, y, x², xy, y²). Integração iterada com passos em x e depois em y.

Coeficientes de f(x, y)

c00 (× constante)

c10 (× x)

c01 (× y)

c20 (× x²)

c11 (× xy)

c02 (× y²)

Retângulo R

x inferior

x superior

y inferior

y superior

Informe os quatro limites da região retangular

Integral dupla sobre um retângulo

Se R = [x₁, x₂] × [y₁, y₂] e f é contínua em R, o teorema de Fubini (caso retangular) permite escrever

iin t_{R} f (x, y) d A = in t_{y_{1}}^{y_{2}} in t_{x_{1}}^{x_{2}} f (x, y) d x d y

A calculadora segue essa ordem: primeiro em x (para cada valor de y), depoisem y. Cada monômio c · xⁱ yʲ é tratado separadamente (linearidade da integral).

Integrando suportado

Polinômios em x e y com grau ≤ 2 em cada variável:

f (x, y) = c_{00} + c_{10} x + c_{01} y + c_{20} x^{2} + c_{11} x y + c_{02} y^{2}

Coeficientes vazios valem zero. Use os atalhos na calculadora ou os exemplos abaixo.

Padrão de prova

∬_[0,1]² xy dA

\\int_0^1 \\int_0^1 xy\,dx\,dy = \\int_0^1 y\\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 dy = \\int_0^1 \frac{y}{2}\,dy = \frac{1}{4}

Só em x

∬ x em [0, 2] × [0, 1]

in t_{0}^{1} in t_{0}^{2} x d x d y = in t_{0}^{1} 2 d y = 2

Só em y

∬ y² em [0, 1] × [0, 2]

in t_{0}^{2} in t_{0}^{1} y^{2} d x d y = in t_{0}^{2} y^{2} d y = \frac{8}{3}

Soma de monômios

∬ (1 + xy) no quadrado unitário

iin t_{[0, 1]^{2}} (1 + x y) d A = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}

Parabólico

∬ (x² + y²) em [0, 1]²

iin t_{[0, 1]^{2}} (x^{2} + y^{2}) d A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Área

∬ 2 no quadrado [0, 1]²

iin t_{[0, 1]^{2}} 2 d A = 2

∬R f(x, y) dA